פתור את 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

פתור עבור t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0.25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎1 משני האגפים.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4t^{2}+at+bt-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -4.

$$-1,4 -2,2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=-1 b=4$$

שכתב את ‎4t^{2}+3t-1 כ- ‎\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף t ב- 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

הוצא את האיבר המשותף 4t-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4t-1=0 ו- t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4t^{2}+3t=1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

‎3 בריבוע.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-3±5}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎5.

$$t=\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-3±5}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎-3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎8.

$$t=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎\frac{3}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{9}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

פרק את ‎t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

פשט.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

החסר ‎\frac{3}{8} משני אגפי המשוואה.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$