פתור את 3x-5x^2=3

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0.3-0.714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0.3+0.714142843i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-5x^{2}+3x=3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -5 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎20 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

חלק את ‎-3+i\sqrt{51} ב- ‎-10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{51} מ- ‎-3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

חלק את ‎-3-i\sqrt{51} ב- ‎-10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

חילוק ב- ‎-5 מבטל את ההכפלה ב- ‎-5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

חלק את ‎3 ב- ‎-5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

חלק את ‎3 ב- ‎-5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

חלק את ‎-\frac{3}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎\frac{9}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

הוסף ‎\frac{3}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$