פתור את 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 31 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

הוצא את השורש הריבועי של -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{115} מ- ‎3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

חילוק ב- ‎31 מבטל את ההכפלה ב- ‎31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

חלק את ‎-\frac{3}{31}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{62}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{62} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{62} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{31} ל- ‎\frac{9}{3844} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

פרק x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

הוסף ‎\frac{3}{62} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$