פתור את 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎3384 משני האגפים.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 7x^{2}+ax+bx-1128. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-84 b=94$$

שכתב את ‎7x^{2}+10x-1128 כ- ‎\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7x בקבוצה הראשונה ואת 94 בקבוצה השניה.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$21x^{2}+30x=3384$$

החסר ‎3384 משני אגפי המשוואה.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

החסרת 3384 מעצמו נותנת 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 21 במקום a, ב- 30 במקום b, וב- -3384 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

‎30 בריבוע.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-84 ב- ‎-3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

הוצא את השורש הריבועי של 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±534}{42} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-30 ל- ‎534.

$$x=\frac{504}{42}$$

חלק את ‎504 ב- ‎42.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±534}{42} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎534 מ- ‎-30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-564}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

חלק את שני האגפים ב- ‎21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

חילוק ב- ‎21 מבטל את ההכפלה ב- ‎21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{21} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

צמצם את השבר ‎\frac{3384}{21} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

חלק את ‎\frac{10}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

הוסף את ‎\frac{1128}{7} ל- ‎\frac{25}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

פרק x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

החסר ‎\frac{5}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$