פתור את 30s^2-19s-63

$$30 s ^ { 2 } - 19 s - 63$$

פרק לגורמים

$$\left(5s-9\right)\left(6s+7\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 30s^{2}+as+bs-63. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-19 ab=30\left(-63\right)=-1890$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -1890.

$$1,-1890 2,-945 3,-630 5,-378 6,-315 7,-270 9,-210 10,-189 14,-135 15,-126 18,-105 21,-90 27,-70 30,-63 35,-54 42,-45$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-1890=-1889 2-945=-943 3-630=-627 5-378=-373 6-315=-309 7-270=-263 9-210=-201 10-189=-179 14-135=-121 15-126=-111 18-105=-87 21-90=-69 27-70=-43 30-63=-33 35-54=-19 42-45=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -19.

$$a=-54 b=35$$

שכתב את ‎30s^{2}-19s-63 כ- ‎\left(30s^{2}-54s\right)+\left(35s-63\right).

$$\left(30s^{2}-54s\right)+\left(35s-63\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6s בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$6s\left(5s-9\right)+7\left(5s-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5s-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5s-9\right)\left(6s+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$30s^{2}-19s-63=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$s=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 30\left(-63\right)}}{2\times 30}$$

‎-19 בריבוע.

$$s=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 30\left(-63\right)}}{2\times 30}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎30.

$$s=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-120\left(-63\right)}}{2\times 30}$$

הכפל את ‎-120 ב- ‎-63.

$$s=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+7560}}{2\times 30}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎7560.

$$s=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{7921}}{2\times 30}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7921.

$$s=\frac{-\left(-19\right)±89}{2\times 30}$$

ההופכי של ‎-19 הוא ‎19.

$$s=\frac{19±89}{2\times 30}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎30.

$$s=\frac{19±89}{60}$$

כעת פתור את המשוואה s=\frac{19±89}{60} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎19 ל- ‎89.

$$s=\frac{108}{60}$$

צמצם את השבר ‎\frac{108}{60} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$s=\frac{9}{5}$$

כעת פתור את המשוואה s=\frac{19±89}{60} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎89 מ- ‎19.

$$s=-\frac{70}{60}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-70}{60} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$s=-\frac{7}{6}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{6} במקום x_{2}.

$$30s^{2}-19s-63=30\left(s-\frac{9}{5}\right)\left(s-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$30s^{2}-19s-63=30\left(s-\frac{9}{5}\right)\left(s+\frac{7}{6}\right)$$

החסר את s מ- \frac{9}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$30s^{2}-19s-63=30\times \frac{5s-9}{5}\left(s+\frac{7}{6}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{6} ל- ‎s על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$30s^{2}-19s-63=30\times \frac{5s-9}{5}\times \frac{6s+7}{6}$$

הכפל את ‎\frac{5s-9}{5} ב- ‎\frac{6s+7}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$30s^{2}-19s-63=30\times \frac{\left(5s-9\right)\left(6s+7\right)}{5\times 6}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎6.

$$30s^{2}-19s-63=30\times \frac{\left(5s-9\right)\left(6s+7\right)}{30}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎30 ב- ‎30 ו- ‎30.

$$30s^{2}-19s-63=\left(5s-9\right)\left(6s+7\right)$$

הערך

$$\left(5s-9\right)\left(6s+7\right)$$