פתור את 30a^2-85a+25

$$30 a ^ { 2 } - 85 a + 25$$

פרק לגורמים

$$5\left(2a-5\right)\left(3a-1\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(6a^{2}-17a+5\right)$$

שקול את 6a^{2}-17a+5. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6a^{2}+pa+qa+5. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-17 pq=6\times 5=30$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא שלילי, p ו- q שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -17.

$$p=-15 q=-2$$

שכתב את ‎6a^{2}-17a+5 כ- ‎\left(6a^{2}-15a\right)+\left(-2a+5\right).

$$\left(6a^{2}-15a\right)+\left(-2a+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3a בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$3a\left(2a-5\right)-\left(2a-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2a-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2a-5\right)\left(3a-1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(2a-5\right)\left(3a-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$30a^{2}-85a+25=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{\left(-85\right)^{2}-4\times 30\times 25}}{2\times 30}$$

‎-85 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-4\times 30\times 25}}{2\times 30}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎30.

$$a=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-120\times 25}}{2\times 30}$$

הכפל את ‎-120 ב- ‎25.

$$a=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-3000}}{2\times 30}$$

הוסף את ‎7225 ל- ‎-3000.

$$a=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{4225}}{2\times 30}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4225.

$$a=\frac{-\left(-85\right)±65}{2\times 30}$$

ההופכי של ‎-85 הוא ‎85.

$$a=\frac{85±65}{2\times 30}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎30.

$$a=\frac{85±65}{60}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{85±65}{60} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎85 ל- ‎65.

$$a=\frac{150}{60}$$

צמצם את השבר ‎\frac{150}{60} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 30.

$$a=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{85±65}{60} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎65 מ- ‎85.

$$a=\frac{20}{60}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{60} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 20.

$$a=\frac{1}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{2}.

$$30a^{2}-85a+25=30\left(a-\frac{5}{2}\right)\left(a-\frac{1}{3}\right)$$

החסר את a מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$30a^{2}-85a+25=30\times \frac{2a-5}{2}\left(a-\frac{1}{3}\right)$$

החסר את a מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$30a^{2}-85a+25=30\times \frac{2a-5}{2}\times \frac{3a-1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2a-5}{2} ב- ‎\frac{3a-1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$30a^{2}-85a+25=30\times \frac{\left(2a-5\right)\left(3a-1\right)}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$30a^{2}-85a+25=30\times \frac{\left(2a-5\right)\left(3a-1\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎30 ו- ‎6.

$$30a^{2}-85a+25=5\left(2a-5\right)\left(3a-1\right)$$

הערך

$$30a^{2}-85a+25$$