פתור את 3-frac{sqrt{2}}{(1-sqrt{5}}

$$3- \frac{ \sqrt{ 2 } }{ (1- \sqrt{ 5 } }$$

הערך

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}+12}{4}\approx 4.144122806$$

שלבי פתרון קצר

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{5}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎1+\sqrt{5}.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}$$

שקול את \left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

‎1 בריבוע. ‎\sqrt{5} בריבוע.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{1-5}$$

החסר את 5 מ- 1 כדי לקבל -4.

$$3-\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{-4}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \sqrt{2} ב- 1+\sqrt{5}.

$$3-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}\sqrt{5}}{-4}$$

כדי להכפיל \sqrt{2} ו\sqrt{5}, הכפל את המספרים תחת השורש הריבועי.

$$3-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{-4}$$

הכפל את המונה ואת המכנה ב- ‎-1.

$$3-\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{4}{4}.

$$\frac{3\times 4}{4}-\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$$

מכיוון ש- \frac{3\times 4}{4} ו- \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{3\times 4-\left(-\sqrt{2}-\sqrt{10}\right)}{4}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎3\times 4-\left(-\sqrt{2}-\sqrt{10}\right).

$$\frac{12+\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4}$$