פתור את 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

פרק לגורמים

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3z^{2}+az+bz-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -15.

$$-1,15 -3,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 14.

$$a=-1 b=15$$

שכתב את ‎3z^{2}+14z-5 כ- ‎\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף z בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3z-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

‎14 בריבוע.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-14±16}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-14 ל- ‎16.

$$z=\frac{2}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-14±16}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎-14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎6.

$$z=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

החסר את z מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

הערך

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$