פתור את 3y^2+y-24

$$3 y ^ { 2 } + y - 24$$

פרק לגורמים

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3y^{2}+ay+by-24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=3\left(-24\right)=-72$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-8 b=9$$

שכתב את ‎3y^{2}+y-24 כ- ‎\left(3y^{2}-8y\right)+\left(9y-24\right).

$$\left(3y^{2}-8y\right)+\left(9y-24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$y\left(3y-8\right)+3\left(3y-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3y-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3y^{2}+y-24=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

‎1 בריבוע.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-24.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎288.

$$y=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$y=\frac{-1±17}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$y=\frac{-1±17}{6}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-1±17}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎17.

$$y=\frac{16}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=\frac{8}{3}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-1±17}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-1.

$$y=-\frac{18}{6}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎6.

$$y=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$3y^{2}+y-24=3\left(y-\frac{8}{3}\right)\left(y-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3y^{2}+y-24=3\left(y-\frac{8}{3}\right)\left(y+3\right)$$

החסר את y מ- \frac{8}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3y^{2}+y-24=3\times \frac{3y-8}{3}\left(y+3\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3y^{2}+y-24=\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

הערך

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$