פתור את 3y^2+5y-2

$$3 y ^ { 2 } + 5 y - 2$$

פרק לגורמים

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3y^{2}+ay+by-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -6.

$$-1,6 -2,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-1 b=6$$

שכתב את ‎3y^{2}+5y-2 כ- ‎\left(3y^{2}-y\right)+\left(6y-2\right).

$$\left(3y^{2}-y\right)+\left(6y-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$y\left(3y-1\right)+2\left(3y-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3y-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3y^{2}+5y-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

‎5 בריבוע.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎24.

$$y=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$y=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$y=\frac{-5±7}{6}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-5±7}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎7.

$$y=\frac{2}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-5±7}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎-5.

$$y=-\frac{12}{6}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎6.

$$y=-2$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{1} וב- ‎-2 במקום x_{2}.

$$3y^{2}+5y-2=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y-\left(-2\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3y^{2}+5y-2=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y+2\right)$$

החסר את y מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3y^{2}+5y-2=3\times \frac{3y-1}{3}\left(y+2\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3y^{2}+5y-2=\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

הערך

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$