פתור את 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

החסר את ‎2x-y=3 מ- ‎3x-y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-2x=2-3$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-2x.

$$x=2-3$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-3.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎2x-y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$-2-y=3$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-y=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-5$$