פתור את 3x-y+4=0,y=2x+3

$$3 x - y + 4 = 0 , y = 2 x + 3$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-y=-4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=-4,-2x+y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=-4$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y-4.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+y=3.

$$-2\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)+y=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{-4+y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=3$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=3$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1-4}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{3} ל- ‎\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-y=-4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=-4,-2x+y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+3\\2\left(-4\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-y=-4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=-4,-2x+y=3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-2\times 3x-2\left(-1\right)y=-2\left(-4\right),3\left(-2\right)x+3y=3\times 3$$

פשט.

$$-6x+2y=8,-6x+3y=9$$

החסר את ‎-6x+3y=9 מ- ‎-6x+2y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x+2y-3y=8-9$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-3y=8-9$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-3y.

$$-y=8-9$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-9.

$$-y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-2x+y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+1=3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$