פתור את 3x-6x^2=-108

$$3 x - 6 x ^ { 2 } = - 108$$

פתור עבור x

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

הוסף ‎108 משני הצדדים.

$$3x-6x^{2}+108=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x-2x^{2}+36=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-2x^{2}+x+36=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -2x^{2}+ax+bx+36. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=-2\times 36=-72$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=9 b=-8$$

שכתב את ‎-2x^{2}+x+36 כ- ‎\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$-x\left(2x-9\right)-4\left(2x-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-9=0 ו- -x-4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

הוסף ‎108 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=-108-\left(-108\right)$$

החסרת -108 מעצמו נותנת 0.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=0$$

החסר ‎-108 מ- ‎0.

$$-6x^{2}+3x+108=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -6 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- 108 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

הכפל את ‎24 ב- ‎108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+2592}}{2\left(-6\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎2592.

$$x=\frac{-3±\sqrt{2601}}{2\left(-6\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2601.

$$x=\frac{-3±51}{2\left(-6\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-6.

$$x=\frac{-3±51}{-12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±51}{-12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎51.

$$x=\frac{48}{-12}$$

חלק את ‎48 ב- ‎-12.

$$x=-4$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±51}{-12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎51 מ- ‎-3.

$$x=-\frac{54}{-12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-54}{-12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{9}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-4 x=\frac{9}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$\frac{-6x^{2}+3x}{-6}=-\frac{108}{-6}$$

חילוק ב- ‎-6 מבטל את ההכפלה ב- ‎-6.

$$x^{2}+\frac{3}{-6}x=-\frac{108}{-6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{3}{-6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{108}{-6}$$

חלק את ‎-108 ב- ‎-6.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

חלק את ‎-\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎18 ל- ‎\frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

הוסף ‎\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$