פתור את 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=4$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+4}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-2y.

$$13y+12=7$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$13y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{13} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-\frac{5}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎-\frac{25}{39} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{9}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

פשט.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

החסר את ‎27x-6y=21 מ- ‎27x-45y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

הוסף את ‎27x ל- ‎-27x. האיברים ‎27x ו- ‎-27x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-45y+6y=36-21$$

הוסף את ‎-45y ל- ‎6y.

$$-39y=36-21$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-21.

$$-39y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{13} במקום y ב- ‎9x-2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

החסר ‎\frac{10}{13} משני אגפי המשוואה.

$$9x=\frac{81}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{9}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$