פתור את 3x^3-4x^2-16x-8=0

$$3 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } - 16 x - 8 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\sqrt{5}+1\approx 3.236067977$$

$$x=1-\sqrt{5}\approx -1.236067977$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -8 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-\frac{2}{3}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{3}-4x^{2}-16x-8 ב- ‎3\left(x+\frac{2}{3}\right)=3x+2 כדי לקבל ‎x^{2}-2x-4. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-2x-4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎-4 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-2x-4=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=1-\sqrt{5} x=\sqrt{5}+1$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-\frac{2}{3} x=1-\sqrt{5} x=\sqrt{5}+1$$