פתור את 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-4 b=-3$$

שכתב את ‎3x^{2}-7x+4 כ- ‎\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-4=0 ו- x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±1}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎1.

$$x=\frac{8}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±1}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎7.

$$x=\frac{6}{6}$$

חלק את ‎6 ב- ‎6.

$$x=1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-7x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

חלק את ‎-\frac{7}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{3} ל- ‎\frac{49}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

הוסף ‎\frac{7}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$