פתור את 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

פתור עבור x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx+84. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -32.

$$a=-18 b=-14$$

שכתב את ‎3x^{2}-32x+84 כ- ‎\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -14 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-6=0 ו- 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -32 במקום b, וב- 84 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

‎-32 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-32 הוא ‎32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{32±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎32 ל- ‎4.

$$x=\frac{36}{6}$$

חלק את ‎36 ב- ‎6.

$$x=6$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{32±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎32.

$$x=\frac{28}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{28}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

החסר ‎84 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

החסרת 84 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

חלק את ‎-84 ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

חלק את ‎-\frac{32}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{16}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{16}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{16}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

הוסף את ‎-28 ל- ‎\frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

הוסף ‎\frac{16}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$