פתור את 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-3 b=1$$

שכתב את ‎3x^{2}-2x-1 כ- ‎\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x ב- 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎4.

$$x=\frac{6}{6}$$

חלק את ‎6 ב- ‎6.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$3x^{2}-2x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

חלק את ‎-\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎\frac{1}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

הוסף ‎\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$