פתור את 3x^2-15x-6=3

$$3 x ^ { 2 } - 15 x - 6 = 3$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{37} + 5}{2} \approx 5.541381265$$

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\approx -0.541381265$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-15x-6-3=3-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-15x-6-3=0$$

החסר ‎3 מ- ‎-6.

$$3x^{2}-15x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -15 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

‎-15 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+108}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{333}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 333.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-15 הוא ‎15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎15 ל- ‎3\sqrt{37}.

$$x=\frac{3\sqrt{37}+15}{6}$$

חלק את ‎15+3\sqrt{37} ב- ‎6.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3\sqrt{37} מ- ‎15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{37}}{6}$$

חלק את ‎15-3\sqrt{37} ב- ‎6.

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-15x-6-\left(-6\right)=3-\left(-6\right)$$

החסרת -6 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-15x=3-\left(-6\right)$$

החסר ‎-6 מ- ‎3.

$$3x^{2}-15x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{9}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{9}{3}$$

חלק את ‎-15 ב- ‎3.

$$x^{2}-5x=\frac{9}{3}$$

חלק את ‎9 ב- ‎3.

$$x^{2}-5x=3$$

חלק את ‎-5, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=3+\frac{25}{4}$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{37}{4}$$

פרק x^{2}-5x+\frac{25}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

הוסף ‎\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$