פתור את 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-3 b=4$$

שכתב את ‎3x^{2}+x-4 כ- ‎\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 3x+4=0.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±7}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎7.

$$x=\frac{6}{6}$$

חלק את ‎6 ב- ‎6.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±7}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$3x^{2}+x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

חלק את ‎\frac{1}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎\frac{1}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

החסר ‎\frac{1}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$