פתור את 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$-1,10 -2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=-2 b=5$$

שכתב את ‎x^{2}+3x-10 כ- ‎\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-2=0 ו- x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 9 במקום b, וב- -30 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

‎9 בריבוע.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±21}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎21.

$$x=\frac{12}{6}$$

חלק את ‎12 ב- ‎6.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±21}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎-9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎6.

$$x=-5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2 x=-5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

הוסף ‎30 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

החסרת -30 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

החסר ‎-30 מ- ‎0.

$$3x^{2}+9x=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

חלק את ‎9 ב- ‎3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

חלק את ‎30 ב- ‎3.

$$x^{2}+3x=10$$

חלק את ‎3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎10 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

פרק את ‎x^{2}+3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=2 x=-5$$