פתור את 3x^2+8x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x + 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=8 ab=3\times 4=12$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$a=2 b=6$$

שכתב את ‎3x^{2}+8x+4 כ- ‎\left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x+2\right)+2\left(3x+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+2\right)\left(x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x+2=0 ו- x+2=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 8 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\times 4}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-48.

$$x=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$x=\frac{-8±4}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-8±4}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎4.

$$x=-\frac{4}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎-8.

$$x=-\frac{12}{6}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎6.

$$x=-2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+8x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+8x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=-\frac{4}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{4}{3}$$

חלק את ‎\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{3} ל- ‎\frac{16}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$