פתור את 3x^2+5x-12)-2(x^2+4x+9)

$$3 x ^ { 2 } + 5 x - 12 ) - 2 ( x ^ { 2 } + 4 x + 9 )$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-4 b=9$$

שכתב את ‎3x^{2}+5x-12 כ- ‎\left(3x^{2}-4x\right)+\left(9x-12\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(9x-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x-4\right)+3\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+5x-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-5±13}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎13.

$$x=\frac{8}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-5.

$$x=-\frac{18}{6}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎6.

$$x=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$3x^{2}+5x-12=3\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3x^{2}+5x-12=3\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+3\right)$$

החסר את x מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3x^{2}+5x-12=3\times \frac{3x-4}{3}\left(x+3\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3x^{2}+5x-12=\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$

הערך

$$\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$