פתור את 3x^2+24x+90=0

$$3 x ^ { 2 } + 24 x + 90 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-4+\sqrt{14}i\approx -4+3.741657387i$$

$$x=-\sqrt{14}i-4\approx -4-3.741657387i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+24x+90=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 24 במקום b, וב- 90 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

‎24 בריבוע.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-12\times 90}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎90.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-1080}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎-1080.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-504}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של -504.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-24 ל- ‎6i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-24+6\sqrt{14}i}{6}$$

חלק את ‎-24+6i\sqrt{14} ב- ‎6.

$$x=-4+\sqrt{14}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6i\sqrt{14} מ- ‎-24.

$$x=\frac{-6\sqrt{14}i-24}{6}$$

חלק את ‎-24-6i\sqrt{14} ב- ‎6.

$$x=-\sqrt{14}i-4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-4+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-4$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+24x+90=0$$

החסר ‎90 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+24x+90-90=-90$$

החסרת 90 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+24x=-90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+24x}{3}=-\frac{90}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{24}{3}x=-\frac{90}{3}$$

חלק את ‎24 ב- ‎3.

$$x^{2}+8x=-\frac{90}{3}$$

חלק את ‎-90 ב- ‎3.

$$x^{2}+8x=-30$$

חלק את ‎8, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎4. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 4 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-30+4^{2}$$

‎4 בריבוע.

$$x^{2}+8x+16=-30+16$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎16.

$$x^{2}+8x+16=-14$$

פרק x^{2}+8x+16 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-14$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-14}$$

פשט.

$$x+4=\sqrt{14}i x+4=-\sqrt{14}i$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$x=-4+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-4$$