פתור את 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

חלק את ‎-2+2i\sqrt{2} ב- ‎6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{2} מ- ‎-2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

חלק את ‎-2-2i\sqrt{2} ב- ‎6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

חלק את ‎\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{1}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$