פתור את 3x^2+16x-5=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 5 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}\approx 0.296064806$$

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}\approx -5.629398139$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 16 במקום b, וב- -5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+60}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎60.

$$x=\frac{-16±\sqrt{316}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 316.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎2\sqrt{79}.

$$x=\frac{2\sqrt{79}-16}{6}$$

חלק את ‎-16+2\sqrt{79} ב- ‎6.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{79} מ- ‎-16.

$$x=\frac{-2\sqrt{79}-16}{6}$$

חלק את ‎-16-2\sqrt{79} ב- ‎6.

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+16x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

החסרת -5 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-5\right)$$

החסר ‎-5 מ- ‎0.

$$3x^{2}+16x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{5}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

חלק את ‎\frac{16}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{8}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{8}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{5}{3}+\frac{64}{9}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎\frac{64}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{79}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{79}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{79}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{79}}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{79}}{3}$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$