פתור את 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 16.

$$a=-2 b=18$$

שכתב את ‎3x^{2}+16x-12 כ- ‎\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-2=0 ו- x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 16 במקום b, וב- -12 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±20}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎20.

$$x=\frac{4}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±20}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20 מ- ‎-16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

חלק את ‎-36 ב- ‎6.

$$x=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

החסרת -12 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

החסר ‎-12 מ- ‎0.

$$3x^{2}+16x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

חלק את ‎12 ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

חלק את ‎\frac{16}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{8}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{8}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎\frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$