פתור את 3x^2+14x-8>0

$$3 x ^ { 2 } + 14 x - 8 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{73}-7}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{73}-7}{3},\infty\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+14x-8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎14 ב- b ואת ‎-8 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{73}}{6}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-14±2\sqrt{73}}{6} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{\sqrt{73}-7}{3} x=\frac{-\sqrt{73}-7}{3}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$3\left(x-\frac{\sqrt{73}-7}{3}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{73}-7}{3}\right)>0$$

כדי שהמכפלה תהיה חיובית, ‎x-\frac{\sqrt{73}-7}{3} ו- ‎x-\frac{-\sqrt{73}-7}{3} חייבים שניהם להיות שליליים או חיוביים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{\sqrt{73}-7}{3} ו- ‎x-\frac{-\sqrt{73}-7}{3} שניהם שליליים.

$$x-\frac{\sqrt{73}-7}{3}<0 x-\frac{-\sqrt{73}-7}{3}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x<\frac{-\sqrt{73}-7}{3}.

$$x<\frac{-\sqrt{73}-7}{3}$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{\sqrt{73}-7}{3} ו- ‎x-\frac{-\sqrt{73}-7}{3} שניהם חיוביים.

$$x-\frac{-\sqrt{73}-7}{3}>0 x-\frac{\sqrt{73}-7}{3}>0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x>\frac{\sqrt{73}-7}{3}.

$$x>\frac{\sqrt{73}-7}{3}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x<\frac{-\sqrt{73}-7}{3}\text{; }x>\frac{\sqrt{73}-7}{3}$$