פתור את 3x^2+13x-10<0

$$3 x ^ { 2 } + 13 x - 10 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+13x-10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎13 ב- b ואת ‎-10 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-13±17}{6}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-13±17}{6} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{2}{3} x=-5$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\frac{2}{3} ו- ‎x+5 צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{2}{3} הוא חיובי ו- ‎x+5 הוא שלילי.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+5<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x+5 הוא חיובי ו- ‎x-\frac{2}{3} הוא שלילי.

$$x+5>0 x-\frac{2}{3}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$