פתור את 3x^2+13x-10

$$3 x ^ { 2 } + 13 x - 10$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-2\right)\left(x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=13 ab=3\left(-10\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 13.

$$a=-2 b=15$$

שכתב את ‎3x^{2}+13x-10 כ- ‎\left(3x^{2}-2x\right)+\left(15x-10\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(15x-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x-2\right)+5\left(3x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-2\right)\left(x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+13x-10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

‎13 בריבוע.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-13±17}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-13±17}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±17}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-13 ל- ‎17.

$$x=\frac{4}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±17}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-13.

$$x=-\frac{30}{6}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎6.

$$x=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$3x^{2}+13x-10=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3x^{2}+13x-10=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)$$

החסר את x מ- \frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3x^{2}+13x-10=3\times \frac{3x-2}{3}\left(x+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3x^{2}+13x-10=\left(3x-2\right)\left(x+5\right)$$

הערך

$$\left(3x-2\right)\left(x+5\right)$$