פתור את 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

פתור עבור x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6y משני האגפים.

$$3x+9-6y=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-6y=-9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$-2x-2y=12$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-6y=-9$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=6y-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎6y-9.

$$x=2y-3$$

השתמש ב- ‎2y-3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-2y.

$$-6y+6=12$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-6y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=2y-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=-2-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-2.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6y משני האגפים.

$$3x+9-6y=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-6y=-9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$-2x-2y=12$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-5,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6y משני האגפים.

$$3x+9-6y=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-6y=-9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$-2x-2y=12$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

פשט.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

החסר את ‎-6x-6y=36 מ- ‎-6x+12y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y+6y=18-36$$

הוסף את ‎12y ל- ‎6y.

$$18y=18-36$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-36.

$$18y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-2x-2y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-1.

$$-2x+2=12$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-1$$