פתור את 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$3x+5-x^{2}=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

החסר את 1 מ- 5 כדי לקבל 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -4.

$$-1,4 -2,2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=4 b=-1$$

שכתב את ‎-x^{2}+3x+4 כ- ‎\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-4=0 ו- -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$3x+5-x^{2}=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

החסר את 1 מ- 5 כדי לקבל 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±5}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=-1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±5}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎-3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎-2.

$$x=4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-1 x=4$$

שלבים להשלמת הריבוע

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$3x+5-x^{2}=1$$

החסר ‎5 משני האגפים.

$$3x-x^{2}=1-5$$

החסר את 5 מ- 1 כדי לקבל -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

חלק את ‎3 ב- ‎-1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x^{2}-3x=4$$

חלק את ‎-3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

פרק את ‎x^{2}-3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=4 x=-1$$