פתור את 3x+2y=12,12=9x-2y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$9x-2y=12$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=12$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{3}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x-2y=12.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-2y=12$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-\frac{2y}{3}+4.

$$-6y+36-2y=12$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-2y.

$$-8y+36=12$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$-8y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times 3+4$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎3.

$$x=-2+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-2.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$9x-2y=12$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 12+\frac{1}{12}\times 12\\\frac{3}{8}\times 12-\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$9x-2y=12$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

פשט.

$$27x+18y=108,27x-6y=36$$

החסר את ‎27x-6y=36 מ- ‎27x+18y=108 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$27x-27x+18y+6y=108-36$$

הוסף את ‎27x ל- ‎-27x. האיברים ‎27x ו- ‎-27x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y+6y=108-36$$

הוסף את ‎18y ל- ‎6y.

$$24y=108-36$$

הוסף את ‎108 ל- ‎-36.

$$24y=72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎9x-2y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x-2\times 3=12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3.

$$9x-6=12$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$9x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$