פתור את 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+10y=102$$

החסר ‎10y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-10y+102$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

השתמש ב- ‎-\frac{10y}{3}+34 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+y=84$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎y.

$$-9y+102=84$$

החסר ‎102 משני אגפי המשוואה.

$$-9y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{10}{3}y+34. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

הכפל את ‎-\frac{10}{3} ב- ‎2.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

הוסף את ‎34 ל- ‎-\frac{20}{3}.

$$x=\frac{82}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

החסר את ‎3x+y=84 מ- ‎3x+10y=102 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-y=102-84$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-y.

$$9y=102-84$$

הוסף את ‎102 ל- ‎-84.

$$9y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎3x+y=84. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2=84$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$3x=82$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{82}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$