פתור את 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

פרק לגורמים

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3t^{2}+at+bt-32. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 20.

$$a=-4 b=24$$

שכתב את ‎3t^{2}+20t-32 כ- ‎\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right).

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

הוצא את הגורם המשותף t בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3t-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

‎20 בריבוע.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-20±28}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-20 ל- ‎28.

$$t=\frac{8}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$t=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-20±28}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎28 מ- ‎-20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

חלק את ‎-48 ב- ‎6.

$$t=-8$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎-8 במקום x_{2}.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

החסר את t מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

הערך

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$