פתור את 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

פתור עבור r

$$r=3$$

$$r=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

הוסף ‎45 משני הצדדים.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- r^{2}+ar+br+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-5 b=-3$$

שכתב את ‎r^{2}-8r+15 כ- ‎\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף r בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף r-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את r-5=0 ו- r-3=0.

$$r=5 r=3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3r^{2}-24r=-45$$

הוסף ‎45 לשני אגפי המשוואה.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

החסרת -45 מעצמו נותנת 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

החסר ‎-45 מ- ‎0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -24 במקום b, וב- 45 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

‎-24 בריבוע.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎-540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{24±6}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎6.

$$r=\frac{30}{6}$$

חלק את ‎30 ב- ‎6.

$$r=5$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{24±6}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6 מ- ‎24.

$$r=\frac{18}{6}$$

חלק את ‎18 ב- ‎6.

$$r=3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$r=5 r=3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

חלק את ‎-45 ב- ‎3.

$$r^{2}-8r=-15$$

חלק את ‎-8, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-4. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -4 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

‎-4 בריבוע.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

פרק r^{2}-8r+16 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

פשט.

$$r-4=1 r-4=-1$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$r=5 r=3$$