פתור את 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

פתור עבור q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3q^{2}+aq+bq+16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -19.

$$a=-16 b=-3$$

שכתב את ‎3q^{2}-19q+16 כ- ‎\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף q בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3q-16 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3q-16=0 ו- q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -19 במקום b, וב- 16 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

‎-19 בריבוע.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎-192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-19 הוא ‎19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{19±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎19 ל- ‎13.

$$q=\frac{32}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{32}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{19±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎19.

$$q=\frac{6}{6}$$

חלק את ‎6 ב- ‎6.

$$q=1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

החסרת 16 מעצמו נותנת 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

חלק את ‎-\frac{19}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{19}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{19}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{19}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

הוסף את ‎-\frac{16}{3} ל- ‎\frac{361}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

פרק את ‎q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

פשט.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

הוסף ‎\frac{19}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$