פתור את 3q^2-135q+1350

$$3 q ^ { 2 } - 135 q + 1350$$

פרק לגורמים

$$3\left(q-30\right)\left(q-15\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(q^{2}-45q+450\right)$$

שקול את q^{2}-45q+450. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- q^{2}+aq+bq+450. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-45 ab=1\times 450=450$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 450.

$$-1,-450 -2,-225 -3,-150 -5,-90 -6,-75 -9,-50 -10,-45 -15,-30 -18,-25$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-450=-451 -2-225=-227 -3-150=-153 -5-90=-95 -6-75=-81 -9-50=-59 -10-45=-55 -15-30=-45 -18-25=-43$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -45.

$$a=-30 b=-15$$

שכתב את ‎q^{2}-45q+450 כ- ‎\left(q^{2}-30q\right)+\left(-15q+450\right).

$$\left(q^{2}-30q\right)+\left(-15q+450\right)$$

הוצא את הגורם המשותף q בקבוצה הראשונה ואת -15 בקבוצה השניה.

$$q\left(q-30\right)-15\left(q-30\right)$$

הוצא את האיבר המשותף q-30 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(q-30\right)\left(q-15\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(q-30\right)\left(q-15\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3q^{2}-135q+1350=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$q=\frac{-\left(-135\right)±\sqrt{\left(-135\right)^{2}-4\times 3\times 1350}}{2\times 3}$$

‎-135 בריבוע.

$$q=\frac{-\left(-135\right)±\sqrt{18225-4\times 3\times 1350}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$q=\frac{-\left(-135\right)±\sqrt{18225-12\times 1350}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎1350.

$$q=\frac{-\left(-135\right)±\sqrt{18225-16200}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎18225 ל- ‎-16200.

$$q=\frac{-\left(-135\right)±\sqrt{2025}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2025.

$$q=\frac{-\left(-135\right)±45}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-135 הוא ‎135.

$$q=\frac{135±45}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$q=\frac{135±45}{6}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{135±45}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎135 ל- ‎45.

$$q=\frac{180}{6}$$

חלק את ‎180 ב- ‎6.

$$q=30$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{135±45}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎45 מ- ‎135.

$$q=\frac{90}{6}$$

חלק את ‎90 ב- ‎6.

$$q=15$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎30 במקום x_{1} וב- ‎15 במקום x_{2}.

$$3q^{2}-135q+1350=3\left(q-30\right)\left(q-15\right)$$

הערך

$$3\left(q-30\right)\left(q-15\right)$$