פתור את 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

פתור עבור p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3p^{2}+ap+bp+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-5 b=-3$$

שכתב את ‎3p^{2}-8p+5 כ- ‎\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף p בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3p-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3p-5=0 ו- p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

‎-8 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{8±2}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎2.

$$p=\frac{10}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{8±2}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2 מ- ‎8.

$$p=\frac{6}{6}$$

חלק את ‎6 ב- ‎6.

$$p=1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

חלק את ‎-\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{3} ל- ‎\frac{16}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

פרק p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

פשט.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

הוסף ‎\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$