פתור את 3p^2-5p-8

$$3 p ^ { 2 } - 5 p - 8$$

פרק לגורמים

$$\left(3p-8\right)\left(p+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3p^{2}+ap+bp-8. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-8 b=3$$

שכתב את ‎3p^{2}-5p-8 כ- ‎\left(3p^{2}-8p\right)+\left(3p-8\right).

$$\left(3p^{2}-8p\right)+\left(3p-8\right)$$

הוצא את הגורם המשותף p ב- 3p^{2}-8p.

$$p\left(3p-8\right)+3p-8$$

הוצא את האיבר המשותף 3p-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3p-8\right)\left(p+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3p^{2}-5p-8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

‎-5 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-8.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎96.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$p=\frac{5±11}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$p=\frac{5±11}{6}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{5±11}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎11.

$$p=\frac{16}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$p=\frac{8}{3}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{5±11}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎5.

$$p=-\frac{6}{6}$$

חלק את ‎-6 ב- ‎6.

$$p=-1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום x_{1} וב- ‎-1 במקום x_{2}.

$$3p^{2}-5p-8=3\left(p-\frac{8}{3}\right)\left(p-\left(-1\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3p^{2}-5p-8=3\left(p-\frac{8}{3}\right)\left(p+1\right)$$

החסר את p מ- \frac{8}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3p^{2}-5p-8=3\times \frac{3p-8}{3}\left(p+1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3p^{2}-5p-8=\left(3p-8\right)\left(p+1\right)$$

הערך

$$\left(3p-8\right)\left(p+1\right)$$