פתור את 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

פתור עבור n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3n^{2}+an+bn-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-9 b=5$$

שכתב את ‎3n^{2}-4n-15 כ- ‎\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3n בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-3=0 ו- 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

‎-4 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{4±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎14.

$$n=\frac{18}{6}$$

חלק את ‎18 ב- ‎6.

$$n=3$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{4±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$3n^{2}-4n=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

חלק את ‎15 ב- ‎3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

חלק את ‎-\frac{4}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

הוסף את ‎5 ל- ‎\frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

פרק n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

פשט.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$