פתור את 3n^2-16n+20

$$3 n ^ { 2 } - 16 n + 20$$

פרק לגורמים

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3n^{2}+an+bn+20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-16 ab=3\times 20=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$a=-10 b=-6$$

שכתב את ‎3n^{2}-16n+20 כ- ‎\left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right).

$$\left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$n\left(3n-10\right)-2\left(3n-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3n-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3n^{2}-16n+20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

‎-16 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎20.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-240.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-16 הוא ‎16.

$$n=\frac{16±4}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$n=\frac{16±4}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{16±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎16 ל- ‎4.

$$n=\frac{20}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=\frac{10}{3}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{16±4}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎16.

$$n=\frac{12}{6}$$

חלק את ‎12 ב- ‎6.

$$n=2$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{10}{3} במקום x_{1} וב- ‎2 במקום x_{2}.

$$3n^{2}-16n+20=3\left(n-\frac{10}{3}\right)\left(n-2\right)$$

החסר את n מ- \frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3n^{2}-16n+20=3\times \frac{3n-10}{3}\left(n-2\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3n^{2}-16n+20=\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

הערך

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$