פתור את 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

פתור עבור n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4.014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19.680742802$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

החסר ‎5 מ- ‎-232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 47 במקום b, וב- -237 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

‎47 בריבוע.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎2209 ל- ‎2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-47 ל- ‎\sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{5053} מ- ‎-47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

הוסף ‎232 לשני אגפי המשוואה.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

החסרת -232 מעצמו נותנת 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

החסר ‎-232 מ- ‎5.

$$3n^{2}+47n=237$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

חלק את ‎237 ב- ‎3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

חלק את ‎\frac{47}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{47}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{47}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{47}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

הוסף את ‎79 ל- ‎\frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

פרק n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

פשט.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

החסר ‎\frac{47}{6} משני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$