פתור את 3c^2-16c+5

$$3 c ^ { 2 } - 16 c + 5$$

פרק לגורמים

$$\left(c-5\right)\left(3c-1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3c^{2}+ac+bc+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$a=-15 b=-1$$

שכתב את ‎3c^{2}-16c+5 כ- ‎\left(3c^{2}-15c\right)+\left(-c+5\right).

$$\left(3c^{2}-15c\right)+\left(-c+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3c בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$3c\left(c-5\right)-\left(c-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף c-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(c-5\right)\left(3c-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3c^{2}-16c+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

‎-16 בריבוע.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 5}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎5.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-60}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-60.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$c=\frac{-\left(-16\right)±14}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-16 הוא ‎16.

$$c=\frac{16±14}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$c=\frac{16±14}{6}$$

כעת פתור את המשוואה c=\frac{16±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎16 ל- ‎14.

$$c=\frac{30}{6}$$

חלק את ‎30 ב- ‎6.

$$c=5$$

כעת פתור את המשוואה c=\frac{16±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎16.

$$c=\frac{2}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$c=\frac{1}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎5 במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{2}.

$$3c^{2}-16c+5=3\left(c-5\right)\left(c-\frac{1}{3}\right)$$

החסר את c מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3c^{2}-16c+5=3\left(c-5\right)\times \frac{3c-1}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3c^{2}-16c+5=\left(c-5\right)\left(3c-1\right)$$

הערך

$$\left(c-5\right)\left(3c-1\right)$$