פתור את 3a^2-a-10

$$3 a ^ { 2 } - a - 10$$

פרק לגורמים

$$\left(a-2\right)\left(3a+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3a^{2}+pa+qa-10. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-1 pq=3\left(-10\right)=-30$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$p=-6 q=5$$

שכתב את ‎3a^{2}-a-10 כ- ‎\left(3a^{2}-6a\right)+\left(5a-10\right).

$$\left(3a^{2}-6a\right)+\left(5a-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3a בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3a\left(a-2\right)+5\left(a-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף a-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(a-2\right)\left(3a+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3a^{2}-a-10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-10.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎120.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$a=\frac{1±11}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$a=\frac{1±11}{6}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{1±11}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎11.

$$a=\frac{12}{6}$$

חלק את ‎12 ב- ‎6.

$$a=2$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{1±11}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎1.

$$a=-\frac{10}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=-\frac{5}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{3} במקום x_{2}.

$$3a^{2}-a-10=3\left(a-2\right)\left(a-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3a^{2}-a-10=3\left(a-2\right)\left(a+\frac{5}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎a על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3a^{2}-a-10=3\left(a-2\right)\times \frac{3a+5}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3a^{2}-a-10=\left(a-2\right)\left(3a+5\right)$$

הערך

$$\left(a-2\right)\left(3a+5\right)$$