פתור את 3a^2-10a-32

$$3 a ^ { 2 } - 10 a - 32$$

פרק לגורמים

$$\left(3a-16\right)\left(a+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3a^{2}+pa+qa-32. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-10 pq=3\left(-32\right)=-96$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -96.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -10.

$$p=-16 q=6$$

שכתב את ‎3a^{2}-10a-32 כ- ‎\left(3a^{2}-16a\right)+\left(6a-32\right).

$$\left(3a^{2}-16a\right)+\left(6a-32\right)$$

הוצא את הגורם המשותף a בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$a\left(3a-16\right)+2\left(3a-16\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3a-16 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3a-16\right)\left(a+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3a^{2}-10a-32=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

‎-10 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-32.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎384.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 484.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±22}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$a=\frac{10±22}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$a=\frac{10±22}{6}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±22}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎22.

$$a=\frac{32}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{32}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=\frac{16}{3}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±22}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎22 מ- ‎10.

$$a=-\frac{12}{6}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎6.

$$a=-2$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{16}{3} במקום x_{1} וב- ‎-2 במקום x_{2}.

$$3a^{2}-10a-32=3\left(a-\frac{16}{3}\right)\left(a-\left(-2\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3a^{2}-10a-32=3\left(a-\frac{16}{3}\right)\left(a+2\right)$$

החסר את a מ- \frac{16}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3a^{2}-10a-32=3\times \frac{3a-16}{3}\left(a+2\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3a^{2}-10a-32=\left(3a-16\right)\left(a+2\right)$$

הערך

$$\left(3a-16\right)\left(a+2\right)$$