פתור את 3a^2-10a+8

$$3 a ^ { 2 } - 10 a + 8$$

פרק לגורמים

$$\left(a-2\right)\left(3a-4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3a^{2}+pa+qa+8. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-10 pq=3\times 8=24$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא שלילי, p ו- q שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -10.

$$p=-6 q=-4$$

שכתב את ‎3a^{2}-10a+8 כ- ‎\left(3a^{2}-6a\right)+\left(-4a+8\right).

$$\left(3a^{2}-6a\right)+\left(-4a+8\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3a בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$3a\left(a-2\right)-4\left(a-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף a-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(a-2\right)\left(3a-4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3a^{2}-10a+8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

‎-10 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\times 8}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎8.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-96.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$a=\frac{10±2}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$a=\frac{10±2}{6}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±2}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎2.

$$a=\frac{12}{6}$$

חלק את ‎12 ב- ‎6.

$$a=2$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{10±2}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2 מ- ‎10.

$$a=\frac{8}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=\frac{4}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{2}.

$$3a^{2}-10a+8=3\left(a-2\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

החסר את a מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3a^{2}-10a+8=3\left(a-2\right)\times \frac{3a-4}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3a^{2}-10a+8=\left(a-2\right)\left(3a-4\right)$$

הערך

$$\left(a-2\right)\left(3a-4\right)$$