פתור את 3a^2+23a-8

$$3 a ^ { 2 } + 23 a - 8$$

פרק לגורמים

$$\left(3a-1\right)\left(a+8\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3a^{2}+pa+qa-8. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=23 pq=3\left(-8\right)=-24$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 23.

$$p=-1 q=24$$

שכתב את ‎3a^{2}+23a-8 כ- ‎\left(3a^{2}-a\right)+\left(24a-8\right).

$$\left(3a^{2}-a\right)+\left(24a-8\right)$$

הוצא את הגורם המשותף a בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$a\left(3a-1\right)+8\left(3a-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3a-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3a-1\right)\left(a+8\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3a^{2}+23a-8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

‎23 בריבוע.

$$a=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$a=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-8.

$$a=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎529 ל- ‎96.

$$a=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 625.

$$a=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$a=\frac{-23±25}{6}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-23±25}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-23 ל- ‎25.

$$a=\frac{2}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-23±25}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎25 מ- ‎-23.

$$a=-\frac{48}{6}$$

חלק את ‎-48 ב- ‎6.

$$a=-8$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{1} וב- ‎-8 במקום x_{2}.

$$3a^{2}+23a-8=3\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a-\left(-8\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3a^{2}+23a-8=3\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a+8\right)$$

החסר את a מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3a^{2}+23a-8=3\times \frac{3a-1}{3}\left(a+8\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3a^{2}+23a-8=\left(3a-1\right)\left(a+8\right)$$

הערך

$$\left(3a-1\right)\left(a+8\right)$$