פתור את 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

פתור עבור z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- z^{2}+az+bz+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=1 b=2$$

שכתב את ‎z^{2}+3z+2 כ- ‎\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף z בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף z+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את z+1=0 ו- z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 9 במקום b, וב- 6 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

‎9 בריבוע.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎-72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-9±3}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

חלק את ‎-6 ב- ‎6.

$$z=-1$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-9±3}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎6.

$$z=-2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$z=-1 z=-2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

החסרת 6 מעצמו נותנת 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

חלק את ‎9 ב- ‎3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

חלק את ‎-6 ב- ‎3.

$$z^{2}+3z=-2$$

חלק את ‎3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

פרק את ‎z^{2}+3z+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

פשט.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$z=-1 z=-2$$