פתור את 3x^4-14x^3-6x^2+6x-5=0

$$3 { x }^{ 4 } -14 { x }^{ 3 } -6 { x }^{ 2 } +6x-5=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}\approx 0.333333333-0.471404521i$$

$$x=5$$

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\approx 0.333333333+0.471404521i$$

$$x=-1$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎3x^{3}-17x^{2}+11x-5. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=5$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{3}-17x^{2}+11x-5 ב- ‎x-5 כדי לקבל ‎3x^{2}-2x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$3x^{2}-2x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

פתור את המשוואה ‎3x^{2}-2x+1=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=5 x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=5$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎3x^{3}-17x^{2}+11x-5. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=5$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{3}-17x^{2}+11x-5 ב- ‎x-5 כדי לקבל ‎3x^{2}-2x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$3x^{2}-2x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=5$$